Quinto

Jun 13, 2024

npj Computational Materials volumen 6, número de artículo: 115 (2020) Citar este artículo

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Los materiales sometidos a cargas complejas desarrollan grandes deformaciones y, a menudo, transformaciones de fase a través de una inestabilidad elástica, como se observa tanto en sistemas simples como complejos. Aquí, representamos un material (ejemplificado para Si I) bajo grandes deformaciones lagrangianas dentro de una descripción continua mediante una energía elástica de quinto orden encontrada minimizando el error relativo a los resultados de la teoría funcional de la densidad (DFT). Las curvas de tensión de Cauchy y deformación lagrangiana para cargas complejas arbitrarias se corresponden excelentemente con los resultados de DFT, incluida la inestabilidad elástica que impulsa la transformación de fase (PT) Si I → II y las inestabilidades de corte. Las condiciones de PT para Si I → II bajo la acción de tensiones axiales cúbicas son lineales en las tensiones de Cauchy de acuerdo con las predicciones de DFT. Esta energía elástica continua permite el estudio de las inestabilidades elásticas y la dependencia de orientación que conducen a diferentes PT, deslizamiento, macla o fractura, proporcionando una base fundamental para las simulaciones de física continua del comportamiento de los cristales bajo cargas extremas.

Las propiedades elásticas anisotrópicas y no lineales de los monocristales determinan la respuesta del material a cargas extremas, por ejemplo, en ondas de choque, bajo alta presión estática y en cristales y nanoregiones libres de defectos. La no linealidad elástica finalmente resulta en inestabilidades de la red elástica1,2,3,4,5,6. Dichas inestabilidades dictan diversos fenómenos, incluidas las transiciones de fase (PT, es decir, cristal-cristal7,8,9,10, amorfización11,12,13,14,15 y fusión16,17), deslizamiento, macla y fractura, en particular, Resistencia teórica en tensión, compresión o corte3,4,5,18,19,20. Además, las propiedades elásticas no lineales son necesarias para simulaciones continuas del comportamiento del material bajo cargas estáticas21 o dinámicas22,23 extremas y cerca de interfaces con desajustes reticulares significativos.

En particular, se conocen constantes elásticas de tercer orden24,25,26 y rara vez de cuarto orden27,28 para diferentes cristales, determinadas con deformaciones pequeñas (p. ej., 0,02–0,03). Como tales, las constantes elásticas de cuarto orden “deben tratarse sólo como una estimación”, por ejemplo, para el Si28. La extrapolación a deformaciones grandes no es confiable para describir la inestabilidad de la red (por ejemplo, a 0,2 para Si10 o 0,3 a 0,4 para B4C29,30). Por lo tanto, para describir correctamente la elasticidad, incluida cualquier inestabilidad de la red, se requieren energías elásticas de orden superior y deben calibrarse para un rango de deformaciones que incluya la inestabilidad de la red. Para algunas cargas, se obtienen curvas tensión-deformación en deformaciones finitas4,5,10,18,19,29,30,31, pero esto es insuficiente para simular el comportamiento del material o describir inestabilidades de la red bajo cargas complejas arbitrarias.

Aquí, la energía elástica de quinto grado para Si I (fase cúbica-diamante, grupo espacial Fd3m) bajo gran deformación se determinó en términos de deformaciones lagrangianas (los 6 componentes independientes) minimizando el error con respecto a los resultados de la teoría funcional de densidad (DFT) para Grandes rangos de tensión que incluyen puntos de inestabilidad. Las curvas de tensión de Cauchy y deformación lagrangiana para múltiples cargas complejas concuerdan excelentemente con los resultados de DFT, incluida la inestabilidad elástica que lleva el PT a Si II (estructura β-estaño, grupo espacial I41 / amd) y las inestabilidades de corte. Las condiciones para Si I → Si II PT bajo la acción de tensiones axiales cúbicas son lineales en las tensiones de Cauchy, como lo predice la DFT. Es importante destacar que la energía de orden inferior no puede producir una precisión similar en la descripción de las curvas tensión-deformación y las inestabilidades elásticas. La energía elástica obtenida abre la posibilidad de estudiar todas las inestabilidades elásticas que conducen a diferentes PT, fractura, deslizamiento y macla, y representa una base fundamental para las simulaciones continuas del comportamiento de los cristales bajo cargas estáticas y dinámicas extremas, incluidos todos los procesos anteriores y su dependencia orientativa. .

El silicio I, como material semiconductor, tiene amplias aplicaciones en electrónica, células solares y sistemas nano/microelectromecánicos. El conocimiento de las reglas de plasticidad y comportamiento transformacional es una parte importante para garantizar la respuesta mecánica y la confiabilidad de la vida útil en dispositivos electrónicos bajo carga de contacto. La dureza aparente de la fase semiconductora Si I es de 12 GPa; tales cargas provocan flujo plástico y varios PT de alta presión. El mecanizado de un Si I semiconductor frágil va acompañado de la propagación de microfisuras dentro de la masa. La utilización de PT inducidos por deformación para Si II metálico dúctil y Si amorfo durante el mecanizado permite realizar y optimizar regímenes dúctiles de mecanizado32. Esto también puede eliminar la necesidad de utilizar aditivos químicos durante el mecanizado, lo que aportará beneficios medioambientales definitivos al reducir la contaminación.

La estructura de diamante cúbico de Si I se puede transformar en la estructura tetragonal de β-estaño de Si II mediante el gradiente de deformación de transformación con solo componentes diagonales, de compresión −0,486 y dos de tracción iguales de 1,243, y pequeños cambios10. Por tanto, esta transformación puede ocurrir de forma martensítica pero con grandes deformaciones de desajuste que requieren relajación, lo que determina la cinética de transformación. En condiciones cuasi hidrostáticas y sangría a temperatura ambiente, la transformación de fase Si I → Si II ocurre en el rango de 9 a 16 GPa33. La temperatura T afecta débilmente la presión de equilibrio de fases entre Si I y Si II; aumenta o disminuye ligeramente la presión de equilibrio dependiendo de diferentes fuentes bibliográficas34. Además, el aumento de temperatura reduce la diferencia entre la presión de equilibrio de fase y la presión para la transformación de fase Si I → Si II. Tenga en cuenta que existen datos determinados experimentalmente para Si I sobre la dependencia de la temperatura de las constantes elásticas de segundo orden desde 0 K hasta la temperatura de fusión35,36, así como resultados de simulaciones de dinámica molecular reactiva36. El efecto de la temperatura es relativamente débil. También se espera una débil dependencia de T debido a las altas frecuencias (≈12–16 THz) de los fonones ópticos37. La dependencia de la temperatura de todas las constantes elásticas hasta el quinto orden se puede determinar utilizando dinámica molecular ab initio, ver, por ejemplo, refs. 38,39,40.

La transformación Si I → Si II es irreversible. Durante la descarga lenta, Si II se transforma en Si XII (estructura romboédrica r8, grupo espacial \(R\bar{3}\)) y luego en una mezcla de Si XII y Si III (estructura bcc b8, grupo espacial \(Ia\bar {3}\)) en condiciones cuasi hidrostáticas y sangría. En una descompresión rápida, el Si II se transforma en Si IX (estructura tetragonal st12, grupo espacial P63/mmc) en condiciones hidrostáticas y en Si amorfo después de la indentación. Bajo cizallamiento plástico en yunques de diamante rotacionales, la transformación de fase Si I → Si III ocurre a 3–4 GPa y Si III → Si II a 5,4 GPa34. Por lo tanto, grandes tensiones de corte y deformación plástica durante la fricción, el corte y el pulido pueden cambiar la fase semiconductora deseada de Si I a otras fases, bajo presión o tensiones normales, mucho más bajas que los 10-12 GPa tradicionalmente aceptados. Además, las condiciones para las transiciones semiconductor-metal bajo cargas triaxiales complejas se determinaron mediante simulaciones DFT en la ref. 10.

Debido a la importancia tecnológica, la deformación y las propiedades PT del silicio se han estudiado intensamente. Las constantes elásticas de tercer orden se encontraron con DFT24,25 y experimentos41,42; sin embargo, no se informaron constantes elásticas de orden superior. La inestabilidad de la red bajo cargas biparamétricas se estudió en las referencias. 4,5,18,19. Las condiciones de inestabilidad de la red que impulsan el PT Si I → II bajo la acción del tensor de tensión de Cauchy (6 tensiones independientes) y las rutas de transformación correspondientes se obtuvieron en las referencias. 8,10, utilizando predicciones del enfoque de campo de fases43.

El movimiento de un cuerpo elástico se describe mediante la función vectorial xi(Xj, t), donde t es el tiempo y xi (deformado) y Xj (estado de referencia no deformado) son las coordenadas cartesianas del vector de posición en un sistema de coordenadas cúbico natural. El gradiente de deformación y la deformación lagrangiana son entonces Fij = ∂xi/∂Xj y \({\eta }_{ij}=\frac{1}{2}({F}_{ki}{F}_{kj} -{\delta }_{ij})\), respectivamente, donde δij es el delta de Kronecker y se supone la notación sumatoria de Einstein. Usando la notación de Voigt, es decir, ηii → ηi (para i = 1, 2, 3), y η23 ​​→ η4/2, η31 → η5/2 y η12 → η6/2, la energía interna específica por unidad de volumen no deformado es, como una expansión en serie de potencias:

donde las c son módulos elásticos de segundo, tercer, cuarto, quinto y superior orden. Para cristales con simetría cúbica, la ecuación. (1) se especifica en ejes cúbicos, con 3 módulos de segundo, 6 de tercer, 11 de cuarto y 18 de quinto orden44, que se encuentran aquí usando DFT. Por lo tanto, asumiendo la energía cero para el caso libre de deformación, es decir, u0 = 0, y

en el cual

Todos los términos no triviales de las ecs. (3) a (6) se determinan de la misma manera: se toman expresiones polinómicas generales como punto de partida y luego se aplican todas las operaciones de simetría conocidas para la red cúbica.

La segunda tensión de Piola-Kirchhoff (PK2) y la verdadera tensión de Cauchy se definen como

Realizamos simulaciones DFT que complementan nuestras simulaciones en la ref. 10, especialmente para deformaciones por corte y cargas complejas combinadas de compresión y corte. Se lleva a cabo el procedimiento de identificación de parámetros y los resultados se presentan en el sistema de coordenadas cúbicas naturales.

En lugar de determinar cierto conjunto de módulos elásticos a partir de las distintas deformaciones27,45, encontramos todos los módulos elásticos mediante la regresión de mínimos cuadrados utilizando todos los datos DFT que tenemos. El error Z es una suma ponderada de dos términos relacionados con la energía y las tensiones PK2:

Aquí los parámetros sin el superíndice 0 designan resultados de las ecuaciones aproximadas. (1) y (7) y aquellos con superíndice 0 son de DFT; suma sobre k significa suma sobre todos los conjuntos de gradientes de deformación y la energía correspondiente uk y los componentes de las tensiones PK2 \({S}_{i}^{k}\), para las cuales se realizaron simulaciones DFT, M es el número de conjuntos de resultados de simulaciones DFT, y w es el factor de ponderación.

Los módulos elásticos ajustados para deformaciones ηi < 0,35 se enumeran en las Tablas 1 y 2. Los módulos elásticos de segundo y tercer orden también se calculan para deformaciones pequeñas ηi < 0,05 para compararlos con otros resultados de DFT24 y experimentos41,42 a temperatura ambiente. Nuestros resultados (si bien se realizaron a 0 K) concuerdan excelentemente con los experimentos, dentro de un error experimental y mejores que en la ref. 24, que valida nuestras simulaciones DFT. Los módulos elásticos de cuarto y quinto orden no tienen parámetros correspondientes de experimentos y cálculos con los que comparar. Como nuestro enfoque principal está en la deformación grande y la inestabilidad elástica, toleramos pequeñas discrepancias entre las constantes de segundo y tercer orden, que usamos para deformaciones grandes ηi < 0,35, y los valores correspondientes en deformaciones pequeñas. De lo contrario, la diferencia entre las curvas tensión-deformación de la energía elástica y la DFT será peor para deformaciones grandes y se requerirá energía de sexto orden. Nuestro modelo continuo tiene en cuenta la elasticidad y los fonones acústicos, pero ignora los modos de fonones ópticos, que se vuelven importantes en T > 575 K para vibraciones de ≈12 THz cerca de L y X, y en T > 750 K para las excitaciones de fonones ópticos de 16 THz en Γ37.

La comparación de los contornos de energía de la energía elástica y la DFT da como resultado el plano de deformaciones \({\eta }_{1}^{\prime}={\eta }_{2}^{\prime}\) y η3 se muestra en la Fig. 1a (\({\eta }_{1}^{\prime}={\eta }_{2}^{\prime}\) se giran 45° alrededor del sistema de coordenadas del eje 3, como en celda unitaria DFT). El Si I libre de tensiones de aproximación elástica tiene parámetros de red a1 = 3,89 Å, c1 = 5,47 Å, dentro del 1% de los resultados de DFT (a1 = 3,8653 Å, c1 = 5,4665 Å), y cerca del valor recomendado de 5,431 020 511 (89) Å46. El punto de silla (SP: \({\eta }_{1}^{\prime}\) = 0,1777 y η3 = −0,2584) tiene una energía de 3,2976 J/mm3 frente a 3,2893 J/mm3 de DFT. La capacidad de ceder el SP es crucial para capturar las inestabilidades elásticas que impulsan el PT. Además, en la Fig. 1b, los gradientes de energía elástica en el plano \({\eta }_{1}^{\prime}-{\eta }_{3}\) (con componentes iguales a las tensiones PK2 \( {S}_{1}^{\prime}={S}_{2}^{\prime}\) y S3) de la aproximación elástica no lineal se corresponden bien con los de DFT. Las desviaciones entre los resultados analíticos y la DFT son bastante pequeñas. Tenga en cuenta que no pretendemos ajustar puntos alejados del SP hacia Si II, ya que deberían ajustarse a la energía elástica para Si II.

a Energía elástica de quinto orden y b gradientes de energía en el plano \({\eta }_{1}^{\prime}={\eta }_{2}^{\prime}\) – η3. Los componentes de los gradientes son tensiones PK2 \({S}_{1}^{\prime}={S}_{2}^{\prime}\) y S3.

Comparamos las curvas de tensión de Cauchy σ3-η3 para diferentes tensiones laterales fijas σ1 = σ2 a lo largo del camino hacia Si I → Si II PT (Fig. 2). Las rutas de transformación correspondientes en el plano (η1 = η2, η3) se encuentran de forma iterativa utilizando el método de Newton tanto para simulaciones de energía elástica como de DFT y se presentan en la Fig. 3.

De la referencia. 10, tales inestabilidades y caminos conducen a Si II. DFT (círculos) y energía elástica (triángulos) designan resultados con un máximo de σ3. Es evidente la excelente concordancia entre el potencial elástico y la DFT.

La línea "hidrostática" designa la ruta de carga para σ1 = σ2 = σ3.

Se desprende claramente de las Figs. 2 y 3 que la energía elástica de quinto orden captura correctamente las trayectorias de carga y las curvas de tensión-deformación de los cálculos de DFT para 0 ≤ −η3 ≤ 0,3, incluidos los puntos máximos de las curvas de tensión-deformación, correspondientes a inestabilidades elásticas. Usamos la misma definición que en la ref. 10: la inestabilidad de la red elástica en la tensión verdadera prescrita σ ocurre en tensiones por encima de las cuales el cristal no puede estar en equilibrio. Para determinar la inestabilidad elástica del Si I, son suficientes propiedades elásticas no lineales. Sin embargo, para encontrar el estado estable o metaestable final, hacia donde evoluciona el sistema, es necesario determinar las posiciones de otros mínimos de energía locales y las propiedades elásticas de las fases o estados correspondientes, y modelar el proceso de transición utilizando, por ejemplo, ab initio molecular. Simulaciones dinámicas (MD). Así, en la ref. 10 encontramos las condiciones de PT y las rutas de transformación para Si I → Si II PT, que se utilizarán aquí. Todas las curvas tensión-deformación en la Fig. 2 son suaves, excepto la de carga hidrostática. Para cargas no hidrostáticas, después del punto de inestabilidad, la red tetragonal de Si I elásticamente distorsionada continúa su transformación a Si II tetragonal. Sin embargo, para carga hidrostática, una deformación isotrópica primaria del Si I cúbico se vuelve inestable con respecto a una perturbación tetragonal secundaria que conduce al Si II. Tal bifurcación del camino de deformación provoca una discontinuidad de la primera derivada en el punto de inestabilidad. Esta bifurcación y salto de pendiente se capturan correctamente en la Fig. 2.

Combinando puntos de inestabilidad de la red de DFT y energía elástica, presentamos el criterio de inestabilidad de la red en forma del valor crítico A del trabajo de transformación modificado:

Aquí εt1 = εt2 = 0.243 y εt3 = −0.514 son deformaciones de transformación que mapean la red cristalina libre de tensiones de Si I en la red libre de tensiones de Si II, y b1 y b3 son constantes modificadoras. Este criterio se derivó en las refs. 8,9,43 a través del campo de fase y se verificó y cuantificó mediante simulación de dinámica molecular utilizando el potencial de Tersoff8 y simulaciones DFT10. Las líneas de inestabilidad se pueden aproximar por σ3 = 0.4144(σ1 + σ2) − 10.9121 para elasticidad no lineal y por σ3 = 0.4066(σ1 + σ2) − 11.4493 para resultados de DFT, ver Fig. 4. Por lo tanto, nuestra energía elástica de quinto orden se desarrolló aquí reproduce con éxito la inestabilidad de la red encontrada en DFT en un rango 0.5(σ1 + σ2) ⊂ [−73.8; dieciséis]. El fuerte efecto de las tensiones no hidrostáticas sobre la inestabilidad de la red es evidente: la presión de transformación bajo carga hidrostática es ~75 GPa y la tensión de transformación σ3 bajo carga uniaxial es ~11 GPa (o tensión media de 3,7 GPa).

El recuadro muestra los mismos puntos de inestabilidad de la energía elástica de quinto orden (círculos) en el espacio 3D σ1, σ2 y σ3, que se encuentran muy cerca del plano de inestabilidad calibrado con DFT en la referencia. 10.

Las curvas de esfuerzo cortante-deformación para cortes simples (sin deformaciones normales) y para cargas complejas (corte más deformaciones normales) se muestran en la Fig. 5. La inestabilidad elástica al corte comienza en 12,84 GPa (DFT: 12,97) para un corte simple, se reduce a 10,7 GPa (DFT: 11) para doble corte (η4 = η5), y luego a 8,71 GPa (DFT: 8,56) para triple corte, por debajo del 3% de error con DFT para deformaciones más allá de los puntos de inestabilidad. Debido a la simetría con respecto al cambio de signo, hay menos constantes elásticas distintas de cero para el corte que para las deformaciones normales; para corte simple η4, c444 = c44444 = 0, y el tercer y quinto grado de η4, η5 y η6 están ausentes. Como era de esperar, la desviación de la aproximación elástica de la DFT crece para las deformaciones más allá de los puntos de inestabilidad de corte mucho más rápido que para las deformaciones normales en la Fig. 2. Esto no es crítico, ya que para la rama inestable se produce una transformación de fase, que se describe mejor mediante el parámetro de orden47. 48. En una simulación de dinámica molecular15 con un potencial de Stillinger-Weber49, la inestabilidad por corte simple a lo largo de \(<\bar{11}2>\) en el plano \(\left(111\right)\) y a lo largo del \(< 111>\) en el plano \(\left(1\bar{1}0\right)\) conduce a la amorfización.

a Para deformaciones de corte simples simples, dobles y triples (η1 = η2 = η3 = 0); b combinación de deformaciones normales y de corte (todas las deformaciones no mencionadas son cero). La energía de quinto orden describe bien los resultados de DFT, incluidas las inestabilidades de corte.

Tenga en cuenta que los cortes dobles y triples a lo largo del \(<100>\) en el plano \(\left(001\right)\) en la Fig. 5a representan un corte simple en \(<110>\) en el \(\left (001\right)\) plano con \({\eta }_{4}^{\prime}=\sqrt{2}{\eta }_{4}\) y carga triaxial de deformación normal en \(< 111>\) y en el plano \(\left(111\right)\) con \({\eta }_{1}^{\prime}=2{\eta }_{4}\) y \( {\eta }_{2}^{\prime}={\eta }_{3}^{\prime}=-{\eta }_{4}\), respectivamente. Luego, las curvas de la Fig. 5a se pueden analizar en términos del efecto de la anisotropía cristalográfica. Generalmente, al rotar el sistema de coordenadas y transformar la energía elástica en consecuencia, se puede estudiar el efecto de la anisotropía para una carga compleja arbitraria.

Para el corte en combinación con deformaciones normales de compresión (Fig. 5b), nuestra energía elástica describe los resultados de DFT incluso mejor que solo para el corte, es decir, con una desviación menor para deformaciones más grandes que incluso superan 0,35. Curiosamente, la superposición de la compresión uniaxial η1 = −0.5η4 ortogonal al plano de corte en la Fig. 5b aumenta ligeramente la resistencia al corte última (teórica) pero reduce ligeramente la tensión de corte correspondiente en comparación con la Fig. 5a. Al mismo tiempo, la superposición de compresión uniaxial η2 = −0.5η4 en la dirección de corte η4 reduce la resistencia al corte última en ~2 GPa, pero aumenta la deformación por corte correspondiente. La superposición de compresión biaxial η1 = η2 = −0.5η4 reduce aún más la resistencia al corte última hasta 6.77 GPa (6.79 de DFT) con la correspondiente deformación cortante entre dos casos anteriores. La forma de las curvas tensión-deformación cambia también con la superposición de diferentes deformaciones de compresión. Además, la superposición de compresión isotrópica η1 = η2 = η3 = −0.5η4 = −0.5η5 = −0.5η6 en el corte triple reduce la resistencia máxima al corte de 8.71 GPa (8.56 de DFT) en la Fig. 5a a 4.4 GPa (4.31 de DFT) en la Fig. 5b y también reduce fuertemente la tensión de corte correspondiente. La tendencia a reducir la estabilidad al corte bajo carga hidrostática en combinación con la presencia de dislocaciones con concentradores de tensión locales puede conducir a una amorfización inducida por la presión observada experimentalmente50. El acoplamiento observado entre las tensiones cortantes y normales no es trivial y está bien captado. Normalmente, las inestabilidades de corte no conducen a Si II sino a una posible amorfización, diamante hexagonal Si IV, deslizamiento o macla.

Tenga en cuenta que la presencia de la porción en forma de meseta en las curvas tensión-deformación del diamante se acuñó en la ref. 51 como “plasticidad atómica” y se consideró como un indicador de la combinación deseada de alta resistencia con suficiente ductilidad. Tal ductilidad atómica se observa para Si bajo compresión (Fig. 2a) pero no para cortes (Fig. 5a). Sin embargo, la superposición de ciertas cepas normales (p. ej., η2 = −0,5η4 y especialmente η1 = η2 = −0,5η4) aumenta significativamente la meseta.

Las simulaciones DFT se pueden aplicar a sistemas con hasta 104 átomos con un tamaño de hasta 10 nm. Los potenciales interatómicos clásicos utilizados en simulaciones de dinámica molecular tratan los sistemas con hasta 108 átomos con un tamaño de hasta 1 micrón. Requieren calibración basada en simulaciones o experimentos DFT. Las teorías y simulaciones del continuo son aplicables a muestras con un tamaño de varios nanómetros (por ejemplo, para el enfoque de campo de fase para transformaciones de fase en nanopartículas y fenómenos inducidos en la superficie52,53) y sin límite superior. La elasticidad no lineal basada en las constantes elásticas de segundo y tercer grado se determina incluso para el grafeno monocapa54,55. Las teorías del continuo se basan en ecuaciones constitutivas que describen cada fenómeno por separado y sus interacciones, que se calibran mediante simulaciones DFT o MD, experimentos y modelos continuos multiescala o continuos atomísticos. El método de elementos finitos (FEM), las diferencias finitas y los métodos espectrales se utilizan principalmente para la solución de problemas físicos y de ingeniería a gran escala con campos heterogéneos y complejos.

La energía elástica en términos de componentes de un tensor de deformación elástica y las correspondientes curvas tensión-deformación es la parte principal de cualquier teoría del continuo que involucre mecánica. Hay muchos casos en los que las deformaciones elásticas son finitas, es decir, superiores a 0,1. Para ellos, se debe utilizar elasticidad no lineal de alto orden; en muchos casos, se debe utilizar la elasticidad no lineal incluso en deformaciones mucho más pequeñas, 0,01–0,0324,25,26,27,28. Bajo cargas extremas, por ejemplo, en ondas de choque22,23 y bajo alta presión estática21, la deformación volumétrica es grande y dado que el límite elástico en corte aumenta significativamente con la presión, las deformaciones elásticas desviatorias o de corte también son finitas. Para cristales libres de dislocaciones o casi libres, las tensiones de corte y las deformaciones están limitadas no por un límite elástico macroscópico (0,1–1 GPa) sino por la resistencia teórica, que es uno o dos órdenes de magnitud mayor. Por ejemplo, un diamante (el material más duro) de unas pocas micras de tamaño en yunques de diamante bajo una presión de 300 GPa tiene una deformación normal de 0,1556,57. La energía elástica de cuarto orden se usó para modelar el comportamiento de los yunques de diamante21 y la energía elástica de tercer orden para el tungsteno se usó como parte del sistema total de ecuaciones diferenciales parciales de mecánica continua para grandes deformaciones elastoplásticas bajo presión de hasta 400 GPa. Se demostró que las constantes elásticas de orden superior afectan significativamente los resultados de las soluciones FEM y sus valores se refinaron ajustándolos a los campos experimentales. El tamaño característico de la muestra de diamante y tungsteno es de varios mm, es decir, las simulaciones MD no pueden tratar este problema. Aún así, las tensiones equivalentes en el yunque del diamante alcanzaron 0,43 de la resistencia teórica bajo las mismas tensiones laterales biaxiales, lo que significa que el diamante estaba libre de nanofisuras y otros concentradores de tensión fuertes.

De manera similar, la elasticidad de tercer orden se utiliza para modelar la propagación de ondas de choque en muestras macroscópicas22,23. También se pueden alcanzar grandes deformaciones elásticas en otros cristales (casi) libres de defectos y nanoregiones de muestras macroscópicas que están libres de defectos, en interfaces coherentes matriz-precipitado con una gran deformación de desajuste, etc.

En los modelos de campo de fase, la elasticidad no lineal se describe mediante energía elástica en términos de deformaciones elásticas, y los procesos inelásticos (como la nucleación y el movimiento de dislocaciones, maclas y grietas, y transformaciones de fase) se describen mediante variables internas, llamadas parámetros de orden43. 47,48. Como la inestabilidad y el ablandamiento del material están involucrados en los modelos (para la elasticidad de segundo orden o superior), lo que lleva a una formulación del problema y una localización de deformaciones mal planteadas, se introduce un gradiente de energía para regularizar el problema y especificar un tamaño característico para las regiones de deformación localizadas. . Para materiales multifásicos, la energía elástica (y todas las demás propiedades del material) se define para cada fase de forma independiente y luego se interpola entre fases utilizando parámetros de orden. Para dislocaciones, maclas y grietas, descritas por los parámetros de orden correspondientes43,58,59,60, la nucleación de defectos a nanoescala ocurre al alcanzar la resistencia teórica en corte y tensión, es decir, en grandes deformaciones elásticas. Si bien la teoría se desarrolla para energías de orden superior, actualmente se utiliza la elasticidad de segundo orden47,48,59,60,61, debido a la falta de datos confiables. La utilización de energía elástica de orden superior desarrollada en el artículo actual mejorará significativamente los modelos de campos de fase para transformaciones de fase, dislocaciones y fracturas, y su interacción. Como se muestra en el artículo, nuestra energía reproduce bien los resultados de DFT y, en consecuencia, es mucho mejor que cualquier resultado de MD basado en un potencial interatómico clásico. Al mismo tiempo, utilizar expresiones analíticas para energía elástica y tensiones para simulaciones continuas complejas a gran escala y de largo plazo es mucho más rápido que cualquier simulación atomística.

Para Si I, hay cientos de publicaciones sobre experimentos y modelado continuo de nano y microindentación, deformación de nano y microesferas y micropilares, uso de sustrato de Si para el crecimiento de cristales epitaxiales con gran tensión de desajuste, procesamiento de superficies (pulido, rayado, corte). , etc.), y compresión y torsión en yunques de diamante y yunques de diamante rotacionales. El nivel de presión/tensión en estos procesos supera los 10 GPa, las deformaciones son finitas y las tensiones alcanzan la fuerza teórica para la nucleación de dislocaciones o grietas. Por lo tanto, la utilización de la energía elástica no lineal encontrada en el artículo debería aumentar significativamente la precisión del modelado continuo. Las simulaciones atomísticas no pueden tratar muestras tan grandes y tiempos de proceso reales.

Además, nuestros resultados recientes para estudiar la inestabilidad de la red y la transformación de fase Si I → Si II para perturbaciones y campos heterogéneos61 están completamente relacionados con la elasticidad no lineal y las simulaciones de continuo. De hecho, mientras que en el caso de muestras pequeñas que pueden tratarse mediante simulaciones atomísticas, los resultados suelen depender del tamaño.

Se puede determinar una energía elástica similar para otras fases del Si, por ejemplo, Si II, III, IX, XII y amorfa. Debido a la menor simetría, por ejemplo, del Si II, es necesario determinar un mayor número de constantes elásticas, pero es factible. La inestabilidad elástica de Si II en el espacio de tensión normal a lo largo del camino hacia Si I se determinó en la ref. 10. Sin embargo, en el experimento, el Si II se transforma mucho antes en Si XII bajo descarga lenta o en Si IX o Si amorfo bajo descompresión rápida32. Por lo tanto, se deben estudiar otros tipos de inestabilidades elásticas y de fonones para describir la realidad de la transformación del Si II.

En resumen, la energía elástica de quinto grado para Si I bajo una gran tensión, incluidos los puntos de inestabilidad, se obtuvo en términos de deformaciones lagrangianas minimizando el error en relación con los resultados de DFT. La energía elástica y las curvas verdaderas de tensión-deformación para cargas complejas arbitrarias (incluida la inestabilidad elástica) reproducen muy bien los resultados de la DFT. Las condiciones de transición de fase para Si I → Si II bajo tres tensiones cúbicas normales resultan lineales en tensiones reales, en perfecto acuerdo con DFT. Cualquier energía de orden inferior (menos de quinto grado) no puede derivar una precisión similar en la descripción de las inestabilidades elásticas y las curvas tensión-deformación, mientras que, por el contrario, actualmente se encuentran principalmente utilizando constantes elásticas de tercer orden determinadas en deformaciones pequeñas. Nuestros resultados también muestran el potencial de controlar las curvas tensión-deformación y las transiciones de fase mediante la aplicación de cargas multidimensionales optimizadas para controlar las propiedades deseables y reducir drásticamente las presiones de transición de fase (1 a 2 órdenes de magnitud)10,17,31,62.

Además de ser de aplicación general, la energía elástica contiene en una forma analítica conveniente una gran cantidad de información y ahora permite un estudio continuo directo de todas las inestabilidades elásticas bajo cargas complejas que impulsan diferentes transiciones de fase (alotrópica y amorfización), fractura, deslizamiento y macla. El uso de energías de orden superior y grandes tensiones que incluyen inestabilidades produce una capacidad predictiva cualitativa y cuantitativamente mejor, mejorando todas las simulaciones basadas en modelos continuos, que son mucho más rápidas que la DFT y la dinámica molecular. En particular, nuestro enfoque representa una base fundamentalmente nueva para las simulaciones continuas del comportamiento del cristal bajo cargas estáticas y dinámicas extremas que involucran múltiples mecanismos dependientes de la orientación mencionados anteriormente. En particular, se requiere una elasticidad de orden superior para determinar los estados de tensión-deformación y optimizar la celda del yunque de diamante para alcanzar las presiones máximas posibles21. Este enfoque es general y mejorará significativamente los modelos fase-campo para transformaciones de fase, en contraste con la elasticidad de segundo orden utilizada actualmente47,48,61. También proporciona una base para la descripción de la competencia entre diferentes inestabilidades con diferentes cargas.

Utilizamos DFT tal como se implementó en VASP38,39,40 con la base de ondas aumentadas del proyector (PAW)63,64 y la función de correlación de intercambio PBE65. El pseudopotencial PAW-PBE de Si tenía 4 electrones de valencia (s2p2) y un radio de corte de 1,9 Å. El corte de energía de onda plana (ENCUT) fue de 306,7 eV, mientras que el corte de energía de la representación de onda plana de las cargas de aumento (ENAUG) fue de 322,1 eV. Utilizamos un esquema de iteración de bloques de Davidson (IALGO = 38) para la minimización de energía electrónica. La estructura electrónica se calculó con un número fijo de bandas (NBANDS = 16) en una celda unitaria tetragonal de 4 átomos (una supercélula de una celda primitiva de 2 átomos). Las integraciones de la zona de Brillouin se realizaron en el espacio k (LREAL = FALSO) utilizando una malla Monkhorst-Pack66 centrada en Γ que contiene 55–110 puntos k por Å-1 (menos durante la relajación atómica, más para el cálculo de la energía final). La convergencia acelerada de los cálculos autoconsistentes se logró utilizando un método de Broyden modificado67.

La relajación atómica y la minimización de energía en una celda unitaria (ISIF = 2) fijada por los diferentes valores prescritos de los componentes del tensor de gradiente de deformación Fij (para más de 104 combinaciones diferentes de Fij y su correspondiente Eij) se realizaron utilizando el algoritmo de gradiente conjugado ( IBRION = 2), permitiendo romper la simetría (ISYM = 0). La ruta de transformación fue confirmada por los cálculos de banda elástica empujada (NEB), realizados utilizando el código C2NEB68. Utilizamos fuerzas DFT en dinámica molecular (MD) ab initio para verificar la estabilidad de las estructuras atómicas relajadas. Se supuso que los átomos de Si tenían masa POMASA = 28,085 unidades de masa atómica (uma). El paso de tiempo para el movimiento atómico se estableció en POTIM = 0,5 fs.

Los códigos DFT, incluido VASP, normalmente devuelven energía con una precisión bastante alta, pero tienen errores mayores en los componentes de tensión calculados utilizando el teorema de Hellmann-Feynman69 dentro de un método de respuesta lineal menos preciso. Evitamos este problema calculando la energía versus la deformación en una cuadrícula y utilizamos exclusivamente diferencias finitas para encontrar derivadas de energía con respecto a los componentes de deformación y tensión.

Como ejemplo de convergencia versus corte de energía de onda plana (ENCUT) para la estructura con a = b = 4.1279 Å y c = 4.4638 Å, identificada como la barrera de tensión bajo carga uniaxial en σ1 = σ2 = 0, fijamos a = b , varió c en ±1%, obtuvo la derivada en diferencias finitas de la energía dE/dc ≈ [E(c + δ) − E(c − δ)]/[2δ], y representó σ3 versus ENCUT (Ecut) en la Fig. 6. El límite de energía de onda plana elegido de 306,7 eV es suficiente para lograr una convergencia dentro de ±0,1 GPa (1 kBar) para el método de diferencias finitas que utilizamos. Los datos DFT convergentes contenían más de 104 entradas y se procesaron en el formato descrito en la Tabla 3 en la ref. 70.

Usamos exclusivamente las diferencias finitas. El límite de energía elegido de 306,7 eV (línea verde discontinua vertical) es suficiente para lograr una convergencia dentro de ±0,1 GPa (líneas discontinuas horizontales) dentro de los cálculos de diferencias finitas.

Las celdas unitarias en las simulaciones DFT contenían 4 átomos y estaban orientadas a lo largo de \({A}^{* }=\left\langle 110\right\rangle\), \({B}^{* }=\left\langle 1\bar{1}0\right\rangle\), y \({C}^{* }=\left\langle 001\right\rangle\). La matriz de transformación para transformar el sistema de coordenadas de simulación actual a la celda cúbica natural de 8 átomos, orientada a lo largo de \(A=\left\langle 100\right\rangle\), \(B=\left\langle 010\right\rangle \), y \(C=\left\langle 001\right\rangle\), es:

Las fórmulas de transformación del gradiente de deformación y las tensiones de Cauchy y segundo Piola-Kirchhoff (PK2) al sistema de coordenadas cúbico natural son

Se lleva a cabo el procedimiento de identificación de parámetros y los resultados se presentan en el sistema de coordenadas cúbicas naturales.

Los conjuntos de datos para todas las figuras y todos los datos sin procesar de las simulaciones DFT están disponibles en https://doi.org/10.25380/iastate.12668843.

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Laboratorio clave de sistemas de presión y seguridad, Ministerio de Educación, Escuela de Ingeniería Mecánica y Energética, Universidad de Ciencia y Tecnología del Este de China, Shanghai, 200237, China

Hao Chen y Xiancheng Zhang

Laboratorio Ames, Departamento de Energía de EE. UU., Universidad Estatal de Iowa, Ames, IA, 50011-3020, EE. UU.

Nikolai A. Zarkevich, Valery I. Levitas y Duane D. Johnson

Departamento de Ingeniería Aeroespacial, Universidad Estatal de Iowa, Ames, IA, 50011, EE. UU.

Valery I. Levitas

Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad Estatal de Iowa, Ames, IA, 50011, EE. UU.

Valery I. Levitas

Departamento de Ciencia e Ingeniería de Materiales, Universidad Estatal de Iowa, Ames, IA, 50011, EE. UU.

Duane D. Johnson

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HC desarrolló el potencial elástico de quinto orden y realizó todo el procesamiento posterior de las simulaciones DFT para obtener todas las constantes elásticas, curvas tensión-deformación y condiciones de inestabilidad. NAZ realizó todas las simulaciones DFT. VIL diseñó la investigación y supervisó el trabajo de HC. DDJ supervisó el trabajo de NAZ. Todos los autores participaron en el análisis, redacción y edición del artículo.

Correspondencia a Hao Chen, Valery I. Levitas o Duane D. Johnson.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Chen, H., Zarkevich, NA, Levitas, VI et al. Energía elástica de quinto grado para predecir relaciones tensión-deformación continua e inestabilidades elásticas bajo grandes deformaciones y cargas complejas en silicio. npj Comput Mater 6, 115 (2020). https://doi.org/10.1038/s41524-020-00382-8

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Recibido: 05 de abril de 2020

Aceptado: 02 de julio de 2020

Publicado: 04 de agosto de 2020

DOI: https://doi.org/10.1038/s41524-020-00382-8

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